Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 104


5.1.2. Однородные координаты

 Для преодоления отмеченных проблем описания геометрических объектов, а также для решения задач преобразования 3D-пространства и 2D-плоскости  в единообразном (матричном) виде вводится формализм так называемых однородных координат. Однородными координатами служат тройки чисел

 (одновременно не равные нулю), связанные с обычными  координатами точек плоскости соотношением:

, так что
. Совершенно очевидным свойством однородных координат является эквивалентность пары однородных векторов, если один в другой переводятся посредством скалярного множителя

.

Поскольку скалярный множитель

 произвольный, то однородные координаты в действительности представляют линию, проходящую через начало координат в евклидовом пространстве. Прямые линии на плоскости также можно представить 3-векторами в однородных координатах:

, где
 - произвольный скалярный множитель.

Видно, что, как и для двух точек, однородные координаты двух линий эквивалентны, если отличаются лишь общим скалярным множителем. Однородные точки

, лежащие на однородной линии
 определяются уравнением

 или
.

Таким образом, точки и линии имеют здесь одинаковые представления. Нетрудно заметить, что прямым, проходящим через начало в данном представлении соответствует значение

. Двойственным образом, точка пересечения двух параллельных прямых, лежащая в бесконечности, имеет множитель
.

5.1.3. Евклидовы преобразования

 Сцену иногда можно рассматривать как твердое тело, когда взаимные деформации элементов сцены в трехмерном пространстве не допускаются. Аналогично и плоскость иногда можно считать жесткой (недеформируемой). Жестким движениям плоскости соответствует евклидова подгруппа, содержащая лишь преобразования сдвига и поворота (рис.5.1), математически записываемых в векторно-матричной форме как

              

,                                   (5.2)

с матрицей поворота на угол

 вида
и вектором трансляции (сдвига)
.




Содержание  Назад  Вперед