Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 105


При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое линейное преобразование плоскости. Действительно, введением дополнительной единичной компоненты уравнение (5.2) можно переписать следующим образом:

                         

                                      (5.3)

Отметим далее, что два последовательно проведенные жесткие движения плоскости могут быть представлены единственным движением:

Рис.5.1. Действие евклидова преобразования на пять точек плоскости

(сдвиг, поворот)

       

           (5.4)

Комбинация двух последовательных вращений

 и
 очевидно сводится к вращению
. Кроме того, выбором вращения
 и сдвига
 такое (второе) жесткое движение переводит точки плоскости в первоначальное положение. Отмеченной парой свойств, собственно говоря, и характеризуется группа, а класс матриц со структурой вида (5.3) известен как евклидова группа преобразований. (Она является, естественно, частным случаем линейных преобразований у которых матрицы произвольные. Эти матрицы невырожденные и формируют общую линейную группу преобразований или проективную группу.) Интересно, что матрицы вращения
сами по себе формируют так называемую ортогональную подгруппу с замечательным свойством
, где
- единичная матрица.

5.1.4. Аффинные преобразования

 

 Если матрицу вращения в (5.2) заменить  общей невырожденной матрицей

, то получим преобразование

         

                                              (5.5)

или, в матричном виде

                          

,                  

а)

 
             

б)

Рис.5.2.

а) действие аффинного преобразования на пять точек (сдвиг, поворот, изменение масштабов вдоль осей, косоугольность с сохранением  параллельных линий);

б) исходное изображение (слева) и его аффинно-преобразованная копия  (справа);параметры аффинного преобразования:

и в однородных координатах

                                           (5.6)




Содержание  Назад  Вперед