Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 107


В то же время аффинная группа является подгруппой общей линейной (проективной) группы, а евклидова группа является частным случаем аффинной группы преобразований. Поэтому все отмеченные преобразования формируют иерархию в том смысле, что верно соотношение для их взаимной соподчиненности

евклидово преобразование

 аффинное
 проективное преобразование.

Зная параметры аффинного преобразования, можно вычислить непосредственно и параметры обратного преобразования

решив систему уравнений (5.5) относительно

:

Если параметры таковы, что

, то данное аффинное преобразование имеет неподвижную точку
:

Заметим, что при

 начало координат и будет являться неподвижной точкой.

 

5.1.5. Проективные преобразования

Как выше уже было сказано, общими линейными преобразованиями

 (в представлении однородными координатами)

                                       
                                         

(5.7)

формируется группа проективных преобразований (рис.5.3). При представлении в обычных координатах, очевидно соотношение (5.7) будет иметь нелинейный вид, связанный с перенормировкой

.

Проективные преобразования, в общем-то, не сохраняют параллельности линий. Свойством, сохраняющимся при проективном преобразовании, является так называемая коллинеарность точек: три точки, лежащие на одной прямой (то есть коллинеарные), после преобразования остаются лежать на одной прямой(см.рис.5.3). Поэтому обратимое проективное преобразование принято называть еще

коллинеацией.

Проективное преобразование связано с отображением трехмерной визуальной информации на двумерную плоскость. С математической точки зрения удобно рассматривать мир, включенным в трехмерное проективное пространство

, а плоскость изображения, включенной в проективное пространство размерности два - 
. Точки на трехмерной сцене и на изображении представляются в проективных пространствах как векторы в однородных координатах.

Проективное преобразование из

 в
(перспективная проекция), отображающее евклидову точку сцены
 в точку изображения
и выраженное в однородных координатах, задается в виде:




Содержание  Назад  Вперед