Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 13


Система (6.23) является однородной линейной по

. Это означает, что вектор трасляции можно  оценить  только с точностью до постоянного множителя. Вводя условие нормировки
, количество возможных решений можно ограничить двумя, отличающимися знаком. Вопрос о выборе знака будет рассмотрен позже. Система (6.23) содержит пять неизвестных, так как матрица
 в силу условий нормировки и ортогональности зависит от трех параметров, а вектор
 с учетом введенной нормировки – от двух. Поэтому число уравнений в системе, следовательно и число пар известных сопряженных точек
 должно быть не менее пяти.

Поскольку на практике в матрицу

 входят не точные значения координат сопряженных точек, а результаты их измерений, которые могут содержать ошибки,  реально система (6.23) имеет ненулевую правую часть, т.е.

,

где

, как и в п.6.2, - вектор невязки, обусловленный наличием ошибок измерений.

Согласно МНК в качестве оценок матрицы вращения и вектора трансляции следует выбрать такие

 и
, которые минимизируют значения функционала
. Как упоминалось ранее, при условии
 квадратичная форма
 достигает минимума
по
 (
- минимальное собственное число матрицы
), если
 - собственный вектор матрицы, соответствующий
. Поэтому процедуру оценивания
 и
 можно разбить на два этапа. На первом находится матрица
, минимизирующая
. На втором оценивается собственный вектор матрицы
, соответствующий
. Существует множество алгоритмов и их программных реализаций для вычисления собственных векторов, поэтому второй этап не вызывает трудностей.

Значительно более сложной задачей является задача оценивания матрицы

. Один из возможных алгоритмов состоит в следующем [6.6]. Известно [6.1, п.14.10], что матрица
 может быть представлена в виде
, где

 

,   
,

.

Углы

,
 и 
 и есть те три неизвестных параметра, от которых зависит матрица
. На практике всегда известен диапазон, в котором они  могут лежать. Выполняя в этом диапазоне полный перебор по всем углам с достаточно грубым шагом (например, 1°) можно приблизиться к значениям, удовлетворяющим требованиям минимизации функционала
 по
.


Содержание  Назад  Вперед