Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 22


          Двумерный непрерывный частотный спектр

 непрерывного сигнала
 определяется двумерным прямым преобразованием Фурье:

,        (1.2)

которому отвечает двумерное обратное непрерывное преобразование Фурье:

.       (1.3)

Последнее соотношение верно при любых значениях

, в том числе и в узлах прямоугольной решетки
. Поэтому для значений сигнала в узлах, учитывая (1.1), соотношение (1.3) можно записать в виде:

.   (1.4)

Обозначим для краткости через

 прямоугольный участок в двумерной частотной области
.  Вычисление интеграла в (1.4) по всей частотной области можно заменить интегрированием по отдельным участкам
 и суммированием результатов:

Выполняя замену переменных по правилу

 
, добиваемся независимости области интегрирования от номеров
 и
:

Здесь учтено, что

 при любых целых значениях 
 и 
. Данное выражение по своей форме очень близко к обратному преобразованию Фурье. Отличие состоит лишь в неправильном виде экспоненциального множителя. Для придания ему необходимого вида введем нормированные частоты
 и выполним в соответствии с этим замену переменных. В результате получим:

     (1.5)

Теперь выражение (1.5) имеет форму обратного преобразования Фурье, следовательно стоящая под знаком интеграла функция

            (1.6)

является двумерным спектром дискретного изображения. В плоскости ненормированных частот выражение (1.6) имеет вид:

         (1.7)

Из (1.7) следует, что двумерный спектр дискретного изображения является прямоугольно периодическим с периодами 

  и 
  по осям частот
 и
 соответственно. Спектр дискретного изображения
 образуется в результате суммирования бесконечного количества спектров
 непрерывного изображения, отличающихся друг от друга частотными сдвигами 
 и
. Рис.1.2 качественно показывает соотношение между двумерными спектрами непрерывного (рис.1.2.а) и дискретного (рис.1.2.б) изображений.

а)

б)

Рис. 1.2. Частотные спектры непрерывного и дискретного изображений

<


Содержание  Назад  Вперед