Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 46


Для этого вычислим производную от левой части этого выражения по коэффициенту 
 и приравняем ее нулю. Учитывая, что операции дифференцирования, суммирования и математического ожидания являются линейными и поэтому перестановочны, приходим к выражению:

.          (3.4)

Входящие в него математические ожидания являются, как нетрудно видеть, отсчетами корреляционных функций, для которых введем следующие обозначения:

,    
.

С их учетом (3.4) примет более компактный вид:

                           (3.5)

Считая автокорреляционную 

 и взаимно корреляционную 
 функции известными, замечаем, что (3.5) представляет собой линейное относительно искомых коэффициентов 
алгебраическое уравнение. Число неизвестных в этом уравнении равняется числу точек 
  в окрестности 
 и является конечным в случае КИХ-фильтра и бесконечным при БИХ-фильтрации. Ограничимся в данном параграфе рассмотрением КИХ-фильтрации. Линейное алгебраическое уравнение со многими неизвестными имеет бесконечное множество решений. Если повторить дифференцирование  (3.3)  по остальным 
 неизвестным, то получим  еще 
  уравнений, отличающихся друг от друга левыми частями
 и коэффициентами 
 в правых частях, т.к. определяющие их корреляции вычисляются каждый раз в различных точках. В результате образуется система 
 линейных алгебраических уравнений с
 неизвестными, называемая в теории фильтрации уравнением Винера-Хопфа:

                            (3.6)

Если разрешить ее относительно всех

 неизвестных  
, то будет найдена искомая импульсная характеристика линейного фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибок фильтрации.

          Определим средний квадрат ошибок оптимальной фильтрации. Для этого необходимо выполнить возведение в квадрат в выражении (3.3) и учесть в полученном выражении уравнение Винера-Хопфа (3.6). В результате нетрудно получить:

,                                (3.7)

где 

- средний квадрат ошибок фильтрации.

          Остановимся на анализе изменения средней яркости изображения при его фильтрации.


Содержание  Назад  Вперед