Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 55


3.4.1. Двумерное дискретное преобразование Фурье

          Обозначим через

 

                          (3.20)

двумерное поле (двумерный сигнал), описывающее дискретное изображение размера

 строк  и 
 столбцов. Вне указанных границ этот сигнал не определен. Выполним периодическое продолжение данного финитного сигнала, введя двумерный периодический сигнал

.                            (3.21)

Если сигнал 

 существует только внутри прямоугольника 
со сторонами
элементов

а)

б)

Рис. 3.4. Реальное (а) и периодически продолженное (б) изображения

(рис. 3.4.а), то сигнал 

 определен на всей плоскости
 и является на ней прямоугольно-периодическим (рис. 3.4.б).

          Любой периодический сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье, но, в отличие от одномерных сигналов, двумерные описываются двумерным рядом Фурье, имеющим вид:

.  (3.22)

Базисные функции этого двумерного представления - двумерные комплексные экспоненты (иногда называемые комплексными синусоидами)

,                     (3.23)

имеющие, как и сигнал

, прямоугольную периодичность с тем же периодом 
. Здесь  (
,
) - двумерный номер базисной функции, а величины 
 имеют смысл пространственных частот. Иногда пространственными частотами называют целочисленные величины
 и
.

 Коэффициенты Фурье

ряда  (3.22) образуют двумерный частотный спектр сигнала 
 и определяются формулой прямого преобразования Фурье:

                       (3.24)

Выражение (3.22), восстанавливающее сигнал

 по его спектру
, является обратным преобразованием Фурье. В справедливости преобразований  (3.22) и (3.24), называемых двумерным ДПФ, можно убедиться, подставив (3.24) в (3.22) и приведя правую часть полученного равенства к значению левой, т.е. к 
.

          Заметим, что для точного представления дискретного сигнала

с двумерным периодом 
 элементов согласно формулам БПФ достаточно конечного  числа базисных функций (3.23) - ряд (3.22) является конечным.


Содержание  Назад  Вперед