Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 56


Это и понятно, поскольку сам представляемый сигнал содержит в одном периоде конечное число точек, т.е. имеет конечное число степеней свободы. Ясно, что число степеней свободы в спектре не может отличаться от числа степеней свободы в самом сигнале.

          Остановимся на наиболее существенных свойствах двумерного дискретного спектра Фурье. Вычислим спектральные коэффициенты (3.24) в частотных точках 

:

                                 (3.25)

Поскольку при любых целых значениях 

 и
последний множитель в полученном выражении равен единице, то отсюда имеем равенство:

,

означающее прямоугольную периодичность двумерного ДПФ. Следовательно, картина двумерного ДПФ подобна картине двумерного периодически продолженного сигнала, качественно показанной на рис. 3.4.б (если на ней пространственные координаты 

 заменить частотными 
). Однако необходимо иметь в виду, что спектральные коэффициенты
, как это следует из (3.24), являются комплексными числами, в том числе и при вещественном сигнале 
. Но тогда возникает вопрос. Общее количество спектральных компонент, как установлено, равно
. Комплексное число эквивалентно паре вещественных чисел - действительной и мнимой частям при алгебраическом или модулю и фазе при экспоненциальном представлении. Следовательно, полный спектр описывается 
 вещественными числами, что вдвое превышает размерность самого сигнала 
. В этом, на первый взгляд, содержится противоречие. Оно находит свое разъяснение при дальнейшем изучении свойств двумерного ДПФ.

          Преобразуем соотношение (3.25) следующим образом. Во-первых, вместо частот 

 подставим частоты 
. Во-вторых, выполним комплексное сопряжение обеих частей, что не нарушит равенства. В результате нетрудно получить выражение:

,

которым устанавливается однозначная связь между спектральными коэффициентами в двух различных точках спектрального прямоугольника 

. Полученным соотношением и снимается противоречие, поскольку количество независимых спектральных коэффициентов уменьшается благодаря данной спектральной симметрии в два раза.


Содержание  Назад  Вперед