Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 58


Затем, перемножив их, определить частотный спектр выходного сигнала, а выполнив обратное преобразование Фурье - найти сам выходной сигнал. Возможно ли применение такой технологии для выполнения двумерной цифровой фильтрации ? Убедимся, что возможно, но с некоторыми оговорками.

Двумерный стационарный (инвариантный к сдвигу) фильтр характеризуют двумерной импульсной характеристикой

, позволяющей определить выходной сигнал при помощи двумерной свертки:

.                           (3.26)

Это уравнение обычной свертки, в нем фигурируют обычные, непериодические сигналы и непериодическая ИХ фильтра. При цифровой обработке в ЭВМ не существует частотных спектров, соответствующих таким сигналам и ИХ. Для описания сигнала в частотной области привлекается, как установлено выше, периодически продолженный сигнал

, которому соответствует дискретный спектр
. По аналогии с (3.21) вводится и периодически продолженная ИХ:

,

двумерное ДПФ которой

 имеет смысл частотного коэффициента передачи цифрового фильтра. Покажем, что перемножая 
 и
, мы находим спектр сигнала, определяемого циклической сверткой. Циклическая свертка отличается от обычной свертки (3.26) тем, что вместо функций 
 и
 в ней представлены периодически продолженные функции
 и
. Нетрудно установить, что при этом сигнал на выходе

.                             (3.27)

также является периодическим. Покажем, что именно его спектр

 определяется выражением:

.                                     (3.28)

Умножим для этого левую и правую части (3.27) на

 и просуммируем  по
 и
 в пределах области 
. В левой части в результате имеем спектр 
. Преобразуем правую часть, предварительно умножив ее на величину
, тождественно равную единице:

.

Выполняя затем во внутренней сумме замену переменных

, учитывая, что при суммировании периодической функции в пределах периода границы суммирования могут быть синхронно сдвинуты на любую величину и оставляя их в этой связи неизменными, приходим к (3.28).




Содержание  Назад  Вперед