Цифровая обработка информации



Цифровая обработка - стр. 86


Среди всех возможных решений недоопределенной разрешимой системы (4.16) в качестве оценки
 выбирается решение, минимизирующее норму ошибки восстановления

,                       (4.19)

где

 - символ транспонирования;
 - вектор ошибки восстановления. Критерий (4.19) называется критерием наименьших квадратов. Доказано [4.3], что норма ошибки будет минимальной, если оценка

,

где

 - обобщенная обратная матрица. В общем случае норма ошибки не равна нулю.

Точное восстановление исходного изображения при отсутствии шумов возможно, во-первых, когда искаженное изображение получено в результате циклической свертки исходного изображения и ФРТ. Во-вторых, когда объекты исходного изображения расположены в центре кадра и наблюдаются на фоне постоянной яркости, причем расстояние от объектов до границ кадра больше апертуры ФРТ. В том и другом случаях число неизвестных будет равно числу уравнений, т.к. объекты, расположенные вне кадра, не будут влиять на яркость наблюдаемого изображения. Иными словами, точное восстановление при отсутствии шума возможно тогда, когда ограничение размеров кадра наблюдаемого изображения не приводит к потере информации об исходном изображении.

Для  искаженных изображений, наблюдаемых в присутствии шумов, к элементам вектора-столбца

 добавляются отсчеты вектора-столбца
. Это делает систему уравнений, как правило, неразрешимой. Неразрешимость системы означает, что не существует оценки исходного изображения, при которой она перейдет в тождество. Можно найти лишь приближенное решение  неразрешимой системы, которое определяется из условия минимума нормы ошибки  [4.4, 4.5]

 

.                  (4.21)

В этом случае оптимальным оператором (в смысле критерия наименьших квадратов (4.21)), формирующим оценку

, также является обобщенная обратная матрица
. Причем этот оператор является единственным оператором, обеспечивающим минимум нормы  оценки
.

Таким образом, в обоих рассмотренных случаях обобщенное обращение матриц дает оптимальное решение, удовлетворяющее критериям  наименьших квадратов (4.19) или (4.21).


Содержание  Назад  Вперед